e (수정중)
전에 써놓은 글 서식 옮기는 중입니다
Euler's Number \(e\)¶
오일러 상수 \(e\)는 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {(1 + \frac{1}{n})^n}\) 의 수렴값임이 아주 잘 알려져 있다.
따라서 간단하게 존재성만 보이도록 하자.
다음의 정리들을 증명없이 소개한다.
Monotone Convergence Theorem¶
If a sequence of real numbers \(a_n\) is monotone and bounded, then \(a_n\) converges.
Binomial Theorem¶
\(\forall a \in \mathbb{R} \ \forall n \in \mathbb{N}\),
\[(1 + a)^n = \sum\limits_{k=0}^n{\binom{n}{k} a^k}\]
이제 \(a_n = (1+\frac{1}{n})^n\) 으로 두자.
binomial theorem에 의해서 \(a_n = \sum\limits_{k=0}^n{\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}}\)이고,
\(k \geq 1\)일때 \((k+1)\)번째 term은 \(\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1) \cdots (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k} \cdot \frac{1}{n^k} = \frac{1}{1 \cdots k}(1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{2}{n}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n})\) 이다.
이때, \(\frac{1}{1 \cdots k}(1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{2}{n}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n}) < \frac{1}{1 \cdots k}(1 - \frac{1}{n + 1}) \cdot (1 - \frac{2}{n + 1}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n + 1})\)이다. (이때 우변이 \(a_{n+1}\)의 binomial term의 \((k+1)\)번째 항임을 주목하자)
따라서 \(\forall n \in \mathbb{Z^+} \ a_n < a_{n+1}\)이고, \(a_n\)은 monotone sequence이다. \(a_n\)이 bounded인 것을 보이면 \(a_n\)의 수렴성을 보장할 수 있고 이때의 수렴값을 \(e\)라고 부를 수 있다.
\(\frac{n(n-1) \cdots (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k} \cdot \frac{1}{n^k} \leq \frac{1}{1 \cdots k} = \frac{1}{k!}\)이므로,
\(a_n < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < 1 + \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \cdots + \frac{1}{2^n} < 1 + \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \cdots = 1 + \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{2^k}}\) 임을 쉽게 확인 할 수 있다.
\(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{2^k}} = 2\) 임이 매우 잘 알려져 있으므로, \(a_n < 3\)으로 bounded sequence이다.
즉 \(a_n\)은 3이하의 어떤 수로 수렴한다. 이제 이 수렴값을 \(e\)라 표기하자. (\(e\)는 약 2.71...임이 잘 알려져 있다.)
Natural Logarithm¶
이제 조금 다른 얘기를 해보자. 이제부터의 목표는 \(e^x, \ln x\)를 정의하는 것이다. (이는 \((e^x)' = e^x\) 등의 결과를 유도해내기 위함이다.)
\(e^x\)를 지수의 정의를 이용해 자연스럽게 정의하고 이의 역함수로 \(\ln x\)를 정의하는 아이디어를 떠올릴 수 있지만, 사실 이는 매우 까다로운 문제가 하나 있다.
우리는 \(a \in \mathbb{R^+}, n \in \mathbb{N}\) 일때는 \(a \cdot a \cdots a (n \ times) = a^n\)로 정의하였다. \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\)로 정의하고 지수법칙을 이용하여 지수를 Rational(\(\mathbb{Q}\))까지 자연스럽게 확장 할 수 있다. 다만 실수 지수를 정의하는 것은 매우 까다롭다.
따라서 이제부터 이전에 정의한 \(e\)와는 전혀 무관하게 함수를 정의하고, 그게 사실은 \(e\)에 관한 함수였다는 것을 보일 것이다.
우선 다음의 정리들을 소개해보자.
Fundamental Theorem of Calculus (second form)¶
Let \(f \in \mathcal{R}[a, b]\) (integrable in [a, b]). Define \(F\) on [a, b] by
$\(F(x) = \int_a^x{f(t)dt}\)$
Then \(F\) is continuous on [a, b]. Furthermore, if \(f\) is continuous at \(c \in [a, b]\), then \(F\) is diffrentiable at c and
$\(F'(c) = f(c)\)$
Integrability¶
Every continuous function is Riemann integrable
Lemma 1¶
Suppose \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) is differentiable on the interval \(I\).
If \(\forall x \in I \ f'(x) = 0\), then \(f\) is constant on \(I\).
(이 지극히 당연해 보이는 Lemma는 사실 Interval이 아닌 정의역에서는 성립하지 않을 수 있다.)
이제 \(L(x) \ (x > 0)\) 함수를 다음과 같이 정의하자.
\(\frac{1}{t}\) 함수는 \((0, \infty)\)에서 연속이므로 적분 가능하고, \(\forall x \in (0, \infty) \ L'(x) = \frac{1}{x}\) 가 성립한다. \(L\)은 위의 정리에 따라 자명히 연속이다. 또한 도함수가 항상 양수이므로 이 함수는 strictly increasing이다. (사실 이 함수는 \(\ln x\) 임을 이미 모두가 알고있다.)
이 함수에서 다음이 성립하는 것을 쉽게 확인 할 수 있다.
Properties¶
\(\forall a, b \in \mathbb{R^+}\)
(a) \(L(1) = 0\)
(b) \(L(ab) = L(a) + L(b)\)
© \(L(\frac{1}{a}) = -L(a)\)
(d) \(\forall r \in \mathbb{Q} \ L(a^r) = rL(a)\)
(e) \(L(e) = 1\)
proof¶
(a) \(L\)의 정의로부터 당연하다.
(b) \(x > 0\)일때, chain rule에 의해 \(\frac{d}{dx}L(ax) = \frac{1}{ax}a = \frac{1}{x} = L'(x)\)이 성립한다.
정의역이 interval \((0, \infty)\)일때 \(\frac{d}{dx}(L(ax) - L(x)) = 0\) 이므로, Lemma 1 에 의해서 \(L(ax) = L(x) + C\) 이다.
\(x = 1\) 일때, \(L(a) = L(1) + C = C\) 이므로, \(L(ax) = L(x) + L(a)\)이고, (b) 를 증명하였다.
© \(\frac{d}{dx}L(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x} = L'(x)\)이고, 이후의 과정은 (b) 와 완전히 동일하다.
(d) \(n \in \mathbb{N}\) 일때 \(L(a^n) = nL(a)\) 인 것은 (b) 를 n번 적용하여 얻을 수 있다.
\(L(a^{-n}) = L((a^{-1})^n) = nL(\frac{1}{a})\) 이므로, \(n \in \mathbb{Z}\) 일때도 성립한다.
마지막으로 \(nL(\sqrt[n]{a}) = nL(a^{\frac{1}{n}}) = L(a)\) 이므로,
\(\forall r \in \mathbb{Q} \ L(a^r) = rL(a)\) 이다.
(사실 \(L\)은 연속이므로 \(r \in \mathbb{R} \ L(a^r) = rL(a)\) 이지만, 아직 실수 지수를 정의하지 않았다. 이는 이후 natural exponential function의 정의 이후 매우 당연해진다.)
(e) \(1 = L'(1) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{L(1 + \frac{1}{n}) - L(1)}{\frac{1}{n}}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{nL(1 + \frac{1}{n})} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{L((1 + \frac{1}{n})^n)} = L(e)\)
(연속성을 이용해서 극한을 집어넣었다.)
이제 우리는 \(\ln x\)일 것이라 심히 의심되는 \(L\) 함수를 얻었다. \(\ln x\) 에 대한 얘기를 계속하지 않고, 이어서 가보도록 하자.
Natural Exponential¶
이제 이 모든 이야기를 마무리 하기 위해 natural exponential 함수를 정의해보자.
Inverse Function Theorem¶
Suppose \(I \subset \mathbb{R}\) is an interval and \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) is differentiable on \(I\) with \(\forall x \in I \ f'(x) \neq 0\).
Then \(f\) is one-to-one on \(I\), the inverse function \(f^{-1}\) is continuous and differentiable on \(f(I)\) with
\(\forall x \in I \ (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}\)
\(\forall n \in \mathbb{Z} \ L(e^n) = nL(e) = n\) 이므로, \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{L(e^n)} = \infty\), \(\lim\limits_{n \rightarrow -\infty}{L(e^n)} = -\infty\)이고, \(L\) 함수는 연속이므로 \((-\infty, \infty)\)로의 onto funtion이다. 위의 정리에 의해 one-to-one correspondence이다.
이제 이 inverse function을 \(\exp(x)\) 라 부르기로 하자. \(\exp: \mathbb{R} \rightarrow (0, \infty)\)이다.
\(\exp(x) = y\) if and only if \(x = L(y)\) 임을 기억하자.
Inverse Function Theorem에 의해서
\(\exp'(x) = \exp'(L(y)) = \frac{1}{L'(y)} = y = \exp(x)\)이다. 즉, \(\forall x \in \mathbb{R} \ \exp'(x) = \exp(x)\)이다. (이 사실은 추후 미분방정식 등의 분야에서 매우 중요하다.)
\(L\) 함수의 성질로부터 다음이 성립함을 아주 간단히 보일 수 있다.
Properties¶
\(\forall x, y \in \mathbb{R}\)
(a) \(\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y)\)
(b) \(\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}\)
© \(\exp(0) = 1\)
(d) \(\exp(1) = e\)
위 성질들을 잘 이용하여 아래 사실들이 성립함을 알 수 있다.
우선 \(\forall n \in \mathbb{Z} \ \exp(n) = \exp(1)\exp(1)\cdots\exp(1) = e \cdot e \cdots e = e^n\)이다.
또한, \(r = \frac{m}{n}, \ m, n \in \mathbb{Q}\) with \(n \neq 0\) 일때, \(\exp(nr) = \exp(m) = e^m\)이다.
마찬가지로 \(\exp(nr) = \exp(r)\exp(r)\cdots\exp(r) = (\exp(r))^n\)이므로, \(e^m = (\exp(r))^n\)이고, \(\exp(r) = e^{\frac{m}{n}} = e^r\) 이다.
즉, \(r \in \mathbb{Q} \ \exp(r) = e^r\) 이므로, 우리가 정의한 \(\exp(x)\) 을 \(e^x\)의 실수로의 자연스러운 확장으로서 정의할 수 있다. 물론 \(L\) 함수는 \(\ln x\) 였음이 자명해졌다.
또한 우리는 \((e^x)' = e^x\) 임을 보였다.
Extra Topic¶
\((e^x)' = e^x\) 이므로, \(e^x\)의 Taylor expansion은 \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}x^k}\)이다. 이 Taylor series의 radius는 \(\infty\) 이므로 \(\forall x \in \mathbb{R} \ e^x = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}x^k}\)이고, 이를 \(e^x\)의 정의로서 사용할 수도 있다.
물론 이때에는 \(\ln x\)를 \(e^x\)의 역함수로서 정의한다.
\((e^x)' = e^x\)임은 series의 term-wise differentiation으로 간단히 증명할 수 있다.